Книга аль-Хорезми «аль-джабр»: расчёты наследства, торговли и измерения земли

Q: Как устроена книга?

Согласно источникам, книга состоит из трёх частей: После решённых примеров по алгебре следует и короткий раздел, посвящённый торговым сделкам: в нём объясняется нахождение четвёртого члена пропорции («тройное правило») — способ, который и сегодня используется в расчётах цены и количества. Арабская рукопись книги хранится в Бодлианской библиотеке в Оксфорде (MS. Huntington 214), а в 1831 году Ф. Розен перевёл её на английский язык и издал вместе с арабским текстом. Гораздо раньше, в XII веке, книга была переведена на латынь и распространилась в Европе.

Q: Что означают «аль-джабр» и «аль-мукабала»?

Эти два слова — два действия упрощения уравнения: Аль-джабр (восполнение, восстановление): перенос вычитаемого члена с одной стороны уравнения на другую со сложением, чтобы все члены стали «целыми». Аль-мукабала (уравновешивание): сокращение одинаковых членов на обеих сторонах. Посмотрим это на задаче Сардора и Жахонгира (составлено автором, условные цифры). Договорённость: Жахонгир за свой труд сначала получает 2 000 000 сумов, оставшаяся прибыль делится поровну. Известно, что Сардор получил всего 7 000 000 сумов. Какой была общая прибыль (x)? Теперь пример уравновешивания: если «цена товара и ещё 3 000 000 сумов равны двойной цене и 1 000 000 сумов», то есть x + 3 000 000 = 2x + 1 000 000. Сокращаем с обеих сторон по одному x и 1 000 000 (аль-мукабала): 2 000 000 = x.

Двое партнёров на базаре — Сардор и Жахонгир — хотят разделить прибыль от торговли сухофруктами. Сардор вложил большую часть капитала, а Жахонгир больше работал. Вопрос «кто сколько получит?» не меняется уже тысячу лет. Аль-Хорезми открыто говорил, что написал свою книгу именно для таких вопросов.

Название книги и слово «алгебра»

Полное название книги примерно такое: «Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр ва-ль-мукабала» — «Краткая книга о счёте путём восполнения и уравновешивания». Слово аль-джабр из названия перешло в латынь и стало названием целой науки — алгебры. Britannica также отмечает, что слово «алгебра» произошло от названия этой книги.

Для чего автор написал книгу?

Согласно предисловию, приведённому в научной биографии на сайте Университета Сент-Эндрюс (MacTutor) и в переводе Ф. Розена 1831 года, аль-Хорезми говорит, что написал книгу для практического счёта, в котором люди постоянно нуждаются. Случаи, перечисленные в предисловии:

наследство;
завещания;
раздел имущества;
тяжбы (судебные дела);
торговля;
все прочие дела людей друг с другом;
измерение земли;
рытьё арыков (каналов);
геометрические расчёты;
разные другие подобные дела.

То есть эта книга задумывалась прежде всего не как теория, а как руководство по жизненным расчётам.

Как устроена книга?

Согласно источникам, книга состоит из трёх частей:

Часть	О чём	Сегодняшний аналог
1. Алгебра	Уравнения первой и второй степени и правила их решения	Нахождение неизвестной суммы
2. Измерение	Расчёты площадей и объёмов	Расчёт вместимости земли, помещения, склада
3. Завещания	Самая большая часть, состоит из полностью решённых задач	Деление наследства на доли

После решённых примеров по алгебре следует и короткий раздел, посвящённый торговым сделкам: в нём объясняется нахождение четвёртого члена пропорции («тройное правило») — способ, который и сегодня используется в расчётах цены и количества. Арабская рукопись книги хранится в Бодлианской библиотеке в Оксфорде (MS. Huntington 214), а в 1831 году Ф. Розен перевёл её на английский язык и издал вместе с арабским текстом. Гораздо раньше, в XII веке, книга была переведена на латынь и распространилась в Европе.

Что означают «аль-джабр» и «аль-мукабала»?

Эти два слова — два действия упрощения уравнения:

Аль-джабр (восполнение, восстановление): перенос вычитаемого члена с одной стороны уравнения на другую со сложением, чтобы все члены стали «целыми».
Аль-мукабала (уравновешивание): сокращение одинаковых членов на обеих сторонах.

Посмотрим это на задаче Сардора и Жахонгира (составлено автором, условные цифры). Договорённость: Жахонгир за свой труд сначала получает 2 000 000 сумов, оставшаяся прибыль делится поровну. Известно, что Сардор получил всего 7 000 000 сумов. Какой была общая прибыль (x)?

Шаг	Запись	Пояснение
Условие	(x − 2 000 000) ÷ 2 = 7 000 000	Доля Сардора
Умножаем на два	x − 2 000 000 = 14 000 000	—
Аль-джабр	x = 14 000 000 + 2 000 000	Вычитаемый член перенесён на другую сторону со сложением
Ответ	x = 16 000 000	Жахонгир 2 + 7 = 9 млн, Сардор 7 млн

Теперь пример уравновешивания: если «цена товара и ещё 3 000 000 сумов равны двойной цене и 1 000 000 сумов», то есть x + 3 000 000 = 2x + 1 000 000. Сокращаем с обеих сторон по одному x и 1 000 000 (аль-мукабала): 2 000 000 = x.

Урок для финансиста

Сегодня финансист, рассчитывая распределение прибыли, платёж по кредиту или доли, использует формулу Excel или программу. Но за каждой формулой стоит та же логика: собрать неизвестное на одной стороне, сократить лишнее, проверить результат. Записать распределение в виде уравнения до заключения договора — самый дешёвый способ предотвратить будущие разногласия.

Примечание: задачи о наследстве в книге составлены на основе правил того времени. В этой статье суждения по ним не выносятся; мы лишь показали историческое значение метода вычисления.