Закон Бенфорда: почему почти треть сумм начинается с цифры 1 и как это помогает найти фиктивный документ?

Естественно думать, что если суммы случайны, то их первая цифра распределяется от 1 до 9 равномерно и на каждую приходится по 11 процентов. Но во многих реальных данных, в том числе в суммах платежей, это не так: малые цифры встречаются гораздо чаще.

Основные правила

• Формула закона. Вероятность того, что первая цифра равна d = log10(1 + 1/d). Результат: 1 – 30,1%; 2 – 17,6%; 3 – 12,5%; 4 – 9,7%; 5 – 7,9%; 6 – 6,7%; 7 – 5,8%; 8 – 5,1%; 9 – 4,6%
• Почему так? Чтобы вырасти с 1 000 до 2 000, сумма должна удвоиться, а с 9 000 до 10 000 — вырасти всего на 11 процентов. Растущие величины «проводят больше времени» в интервале, начинающемся с 1
• История. Астроном Саймон Ньюком в 1881 году заметил, что первые страницы книги логарифмических таблиц потрёпаны сильнее. В 1938 году физик Фрэнк Бенфорд проверил это на большом объёме данных, подробно описал, и закон стал известен под его именем
• Когда работает. Если данные охватывают несколько порядков (от десятков сумов до миллиардов), их достаточно много и суммы не назначены человеком, а вытекают из событий
• Когда не работает. Назначенные номера (порядковый номер счёта-фактуры, номер телефона), значения в узком интервале (товар по одинаковой цене, оклад в штатном расписании), данные с верхней или нижней границей и малые выборки
• Отклонение — не доказательство, а сигнал. Если распределение отличается от закона, это не доказательство ошибки или мошенничества: это указывает, какую группу нужно глубже проверить по документам
• Место в аудите. Анализ по Бенфорду применяется как одна из аналитических процедур, чтобы выделить подозрительную часть из большого объёма записей; окончательный вывод всё равно основывается на проверке документов

Пример: торговая сеть «Charxpalak»

Внутренний аудитор Бекзод посчитал первые цифры сумм 1 000 платежей поставщикам за год. На предприятии платёж свыше 5 млн сумов должен утверждать заместитель директора (условное внутреннее правило).

Платежей, начинающихся с 4, на 65 больше ожидаемого, а начинающихся с 5 — на 27 меньше. Бекзод выделил платежи, начинающиеся с 4: большинство из них оказались в интервале 4,5–4,99 млн сумов. Нашлись случаи, когда одному и тому же поставщику в один день делалось два-три таких платежа.

Это может быть признаком дробления одного крупного платежа на несколько частей, чтобы остаться ниже порога утверждения. Но вывод пока не делается: теперь Бекзод проверит по этим платежам договоры, накладные и оприходование товара. Если документы окажутся в порядке, будет предложено изменить внутреннее правило (установить порог на общую сумму за день).