Savol-javob: statistika

O'rtacha ball foydali, lekin yolg'iz o'zi yetarli emas. Sababi, 1 dan 5 gacha baho tartib shkalasi: 5 — 4 dan yaxshi, 4 — 3 dan yaxshi deyish mumkin. Lekin 4 va 5 orasidagi «masofa» 1 va 2 orasidagi masofaga teng deb kafolat yo'q. O'rtacha esa aynan shu «masofa tengligi»ga tayanadi.

Bundan tashqari, o'rtacha taqsimotni yashiradi. Quyidagi ikki filial uchun bir xil o'rtacha 3,0 chiqadi:

Ikkalasida ham o'rtacha 3,0, lekin hayot butunlay boshqacha: «A» filialda hamma «o'rtacha» deydi, «B» da yarmi juda mamnun, yarmi juda norozi. «B» da median ham 3 bo'lib chiqadi (10-qiymat 1, 11-qiymat 5, o'rtachasi 3), garchi birorta mijoz aslida 3 bermagan bo'lsa ham.

Sizning ma'lumotingiz (muallif tomonidan tuzilgan, 20 mijoz):

Hisob (Python bilan tekshirilgan): o'rtacha = (1×2 + 2×3 + 3×3 + 4×6 + 5×6) ÷ 20 = 71 ÷ 20 = 3,55. Median = 4 (10- va 11-qiymatlar ikkalasi 4). Moda ikkita: 4 va 5 (har biri 6 marta). 4–5 ball bergan mijozlar: 12 ta, ya'ni 60%. 1–2 ball bergan: 5 ta, ya'ni 25%.

Shunday hisobot yozilsa, rahbarga ko'proq foyda beradi: «Mijozlarning 60% i 4 yoki 5 ball berdi, 25% i 1 yoki 2 ball berdi, median 4, o'rtacha 3,55». Bu bitta «3,55» dan ko'ra aniqroq.

Qoidalar: 1. Har doim ballar taqsimotini (har bir ball necha foiz) ko'rsating. 2. Median va yuqori ikki ball ulushi (4–5) hamda quyi ikki ball ulushi (1–2) tartib shkalasiga mos ko'rsatkichlar. 3. O'rtachani qo'shimcha ko'rsatkich sifatida bering, ayniqsa vaqt bo'yicha solishtirishda (o'tgan oy 3,40, bu oy 3,55). Ammo uni mijozlar soni kam bo'lganda yolg'iz asos qilmang. 4. Javob bermagan yoki «aytolmayman» degan mijozlarni alohida ko'rsating: ularni 0 deb o'rtachaga qo'shmang.

Manba: umumiy statistika qoidalari (o'lchov shkalalari, o'rtacha, median, moda). Ma'lumot muallif tomonidan tuzilgan.

Bunday xulosa «omon qolganlar xatosi»ga o'xshaydi. Siz faqat yopilmagan kafelarni ko'ryapsiz. Yopilib ketganlar ichida ham katta zal va qimmat dizaynli kafelar ko'p bo'lgan bo'lishi mumkin, lekin ular endi ko'zga ko'rinmaydi. Muvaffaqiyat sababini topish uchun omon qolganlarni yopilganlar bilan solishtirish kerak.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). Uch yil oldin shaharda 50 ta kafe ochilgan. Bugun ulardan 20 tasi ishlayapti, 30 tasi yopilgan.

Omon qolganlar ichida katta zallilar 70% (20 tadan 14 tasi) — bu sizning kuzatishingiz. Lekin yopilganlar ichida ham ular aynan 70% (30 tadan 21 tasi). Ya'ni katta zalli kafelar ko'p bo'lgani uchun ular omon qolganlar orasida ham ko'p. Omon qolish ehtimoli esa ikkala guruhda bir xil — 40%. Bu ma'lumotlarga ko'ra, zal hajmi muvaffaqiyatni oldindan aytmaydi.

Bu xato biznesda tez-tez uchraydi:

1. Faqat muvaffaqiyatli tadbirkorlarning tarjimai holini o'qib, «ular erta turishadi, demak erta turish boyitadi» deyish.
2. Mijozlar so'rovini faqat qolgan mijozlar orasida o'tkazib, «hamma mamnun» degan xulosa chiqarish: norozilar allaqachon ketgan.
3. Faqat hozir sotuvda bo'lgan tovarlarni tahlil qilib, «bu turkumdagi tovarlar yaxshi sotiladi» deyish: yaxshi sotilmaganlari allaqachon assortimentdan chiqarilgan.

Qanday himoyalanish mumkin:

1. Har doim savol bering: «Bu ro'yxatga kim kirmay qolgan?»
2. Yopilgan, ketgan, chiqarib tashlanganlar haqida ham ma'lumot topishga harakat qiling: eski ro'yxatlar, arxiv, sobiq mijozlar bilan suhbat.
3. Ulushni har doim boshlang'ich guruhga nisbatan hisoblang: «omon qolganlar ichida qancha» emas, «boshlaganlar ichida qanchasi omon qoldi».

Hozircha bunday deyishga asos yo'q. Bu yerda statistikadagi «o'rtachaga qaytish» hodisasi ishlagan bo'lishi mumkin. Har oylik natija ikki qismdan iborat: filialning doimiy darajasi va tasodifiy omillar, ya'ni faqat o'sha oyga xos bo'lib, keyingi oyda takrorlanishi shart bo'lmagan holatlar. Bir oyda juda yomon natija ko'rsatgan filialga ko'pincha omad kulib boqmagan bo'ladi. Keyingi oy tasodif bu darajada yomon kelmasligi mumkin va natija hech qanday chorasiz ham o'z odatiy darajasiga yaqinlashadi. Eng yaxshi natijada esa aksincha.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). Oltita filialning yillik o'rtacha reja bajarilishi taxminan 100% atrofida. Ikki oylik natijalar:

«Eng yomon uchtalik» o'rtachasi 81,7% dan 94,3% ga ko'tarilgan, «eng yaxshi uchtalik»niki 115,7% dan 104% ga tushgan. Lekin oltita filialning umumiy o'rtachasi deyarli o'zgarmagan: 98,7% va 99,2%. Hamma filial o'zining odatiy darajasiga yaqinlashgan, xolos.

Choralar haqiqatan ishlaganini qanday tekshirish mumkin:

1. Natijani bitta oy bilan emas, filialning o'zining uzoq muddatli o'rtachasi bilan solishtiring.
2. Taqqoslash guruhi qiling: o'xshash natijali filiallarning bir qismiga chora ko'ring, bir qismiga ko'rmang. Ikkala guruh ham bir xil yaxshilansa, sabab chora emas.
3. Bir necha oy kuzating: chora haqiqatan ta'sir qilsa, yaxshilanish barqaror bo'ladi.

Bu hodisa boshqa joylarda ham uchraydi: eng ko'p brak chiqargan kundan keyingi kun yaxshiroq bo'ladi, yangi reklama eng yomon oydan keyin boshlangani uchun «samarali» ko'rinadi. Qaror qabul qilishdan oldin: «Hech narsa qilmaganimizda ham shunday bo'lmasmidi?» deb so'rang.

Bu savolga nazorat kartasi (nazorat grafigi) yordamida javob berish mumkin. G'oya oddiy: jarayon barqaror bo'lsa ham, har kungi brak ulushi tasodifan o'zgarib turadi. Statistika bu o'zgarishning odatiy chegaralarini hisoblab beradi. Natija chegaradan chiqsa yoki g'alati yo'nalish ko'rsatsa, jarayonda nimadir o'zgargan deb gumon qilinadi.

Brak ulushi uchun oddiy formula:

• o'rtacha ulush p = 0,03;
• kunlik tanlov n = 400;
• standart chetlanish = √(p × (1 − p) ÷ n) = √(0,03 × 0,97 ÷ 400) ≈ 0,0085, ya'ni 0,85 foiz punkt.

Ko'p qo'llaniladigan yondashuvda nazorat chegaralari o'rtachadan ± 3 standart chetlanish masofasida olinadi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Temir usta» sexi uchun:

Bugungi 20 ta brak yuqori nazorat chegarasidan (22 ta) past, lekin ogohlantirish darajasidan (19 ta) yuqori. Demak, dastgohni darhol to'xtatishga asos yetarli emas, lekin e'tiborni oshirish kerak: ertangi natijani kuzating, ish smenasini, xom ashyo partiyasini va asboblar holatini tekshiring.

Yana bir foydali belgi — natijalarning ketma-ketligi. Agar jarayon o'zgarmagan bo'lsa, har kun o'rtachadan yuqori yoki past chiqish ehtimoli taxminan teng. Ketma-ket 8 kun o'rtachadan yuqori chiqish ehtimoli 0,5⁸ ≈ 0,4%. Shunday bo'lsa, har biri chegaradan chiqmasa ham, jarayon yomonlashgan bo'lishi mumkin.

Pastki chegaradan chiqish ham signal: brak juda kam chiqsa, bu tekshiruvchi e'tiborsiz qolgani yoki yangi, yaxshiroq usul ishlayotgani bo'lishi mumkin. Uni ham tekshirish kerak.

Amaliy maslahat: Excel'da kunlik brak ulushini va uch chiziqni (o'rtacha, yuqori va pastki chegara) bitta grafikda chizing va sex devoriga osib qo'ying. Ustalar o'zlari ham qachon xavotirlanish kerakligini ko'radi.

Ko'pincha bu xato emas, yaxlitlash natijasi. Har bir ulush alohida yaxlitlanadi va har birida kichik farq paydo bo'ladi. Ular qo'shilganda jami 100% dan bir-ikki foiz punktga farq qilishi mumkin.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Lola savdo» do'konining oylik tushumi 250 mln so'm:

Uchta teng qism esa har biri 33,33...% bo'ladi va 33% ga yaxlitlanadi, natijada jami 99%.

Xuddi shu holat summalarda ham uchraydi. Uchta xarajat 1,4 mln so'mdan bo'lsa, jami 4,2 mln. Jadvalda «mln so'm» butun songa yaxlitlansa: 1 + 1 + 1, jami esa 4. Qatorlar yig'indisi 3, «Jami» qatori 4 ko'rinadi.

Bunga qanday yondashish kerak:

1. Jadval ostiga izoh yozing: «Yaxlitlash sababli jami 100% dan farq qilishi mumkin».
2. Bir kasr xonasi bilan ko'rsating: 40,6% + 30,6% + 28,8% = 100,0%. Ko'pincha shuning o'zi yetarli.
3. Diagrammada jami aniq 100% bo'lishi kerak bo'lsa, eng katta qoldiq usulini qo'llang: hammasini pastga yaxlitlang (40 + 30 + 28 = 98), keyin yetishmagan 2 foiz punktni kasr qismi eng katta bo'lgan ikkitasiga bittadan qo'shing: ichimliklar (0,84) va oziq-ovqat (0,60); maishiy kimyoning kasr qismi (0,56) eng kichigi. Natija: 41%, 30%, 29% — jami 100%.
4. «Jami»ni hech qachon yaxlitlangan qatorlardan qo'shib hisoblamang: uni aniq summadan hisoblab, keyin yaxlitlang.

Buxgalteriya hisobotlarida bu ayniqsa muhim: hisobot ming so'mda tuzilsa, balans aktivi va passivi yaxlitlash tufayli bir necha birlikka farq qilib qolmasligi uchun farqni bitta moddada tuzatish usuli hisob siyosatida oldindan belgilab qo'yilgani ma'qul.

Rahbarga tushuntirish uchun bir jumla yetarli: «Har bir son alohida yaxlitlangan, aniq sonlar yig'indisi 100%.»

Yo'q, bunday emas. Bu statistikadagi eng keng tarqalgan chalkashliklardan biri. «Haqiqiy xatolarning 96 foizini topadi» va «belgilangan chekning 96 foizi haqiqiy xato» — butunlay boshqa-boshqa narsalar. Ikkinchisi xato cheklar umuman qanchalik ko'p uchrashiga va dastur toza cheklarni qanchalik tez-tez adashib belgilashiga bog'liq.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Barakali do'kon» da oyiga 10 000 ta chek bo'ladi. Ulardan taxminan 50 tasi haqiqatan xato (0,5%). Dastur haqiqiy xatolarning 96 foizini topadi, lekin toza cheklarning 2 foizini ham adashib shubhali deb belgilaydi.

Belgilangan 247 ta chekdan faqat 48 tasi haqiqiy xato: 48 ÷ 247 ≈ 19,4%. Ya'ni dastur belgilagan chek taxminan beshtadan bittasi xato bo'ladi, 96% emas.

Nega shunday? Toza cheklar juda ko'p (9 950 ta), shuning uchun ularning kichik 2 foizi ham 199 ta yolg'on signal beradi. Bu haqiqiy xatolardan to'rt baravar ko'p.

Amaliy xulosalar:

1. Belgilangan chekni darhol xato deb hisoblab, sotuvchini ayblamang. U birinchi tekshiruvga navbat, xolos.
2. Dasturni baholashda ikkita ko'rsatkichni so'rang: haqiqiy xatolarning qancha qismini topadi va toza cheklarning qancha qismini adashib belgilaydi.
3. Tekshiruvchi xodimga qancha ish tushishini oldindan hisoblang: oyiga 247 ta chekni tekshirish kerak, shundan 199 tasi bekorga.
4. Agar xato cheklar ulushi oshsa (masalan, yangi kassir kelsa), belgilanganlar orasidagi haqiqiy xatolar ulushi ham oshadi. Ya'ni bir xil dastur turli sharoitda turlicha «aniq» ko'rinadi.

Bu mantiq har qanday avtomatik tekshiruvga tegishli: belgilangan operatsiyalar orasida haqiqiy xatolar qancha bo'lishi xatolar umuman qanchalik kam uchrashiga bog'liq.

Buni sotuv voronkasi tahlili deyishadi. Har bir bosqichda odamlarning bir qismi «tushib qoladi». Har bosqichning konversiyasi — keyingi bosqichga o'tganlar ulushi:

Konversiya = keyingi bosqichdagilar soni : oldingi bosqichdagilar soni

Umumiy natija barcha bosqich konversiyalarining ko'paytmasiga teng. Shuning uchun bitta bosqichdagi yaxshilanish oxirgi natijaga butun zanjir orqali ta'sir qiladi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Ipak yo'li kitoblari» saytida o'rtacha xarid 250 000 so'm.

Endi har bosqichni alohida 5 foiz punktga yaxshilasak nima bo'lishini hisoblaymiz:

Eng katta ta'sir — savatdan to'lovga o'tish bosqichida. Sababi: konversiya qancha past bo'lsa, bir xil 5 foiz punkt shuncha katta nisbiy o'sish beradi (25% dan 30% ga — beshdan bir qism ko'p). Shu bosqichda mijozni nima to'xtatayotganini tekshirib ko'ring: yetkazib berish narxi oxirida chiqib qolmayaptimi, ro'yxatdan o'tish majburiy emasmi, shakl uzun emasmi.

Amaliy maslahatlar:

1. Voronkani har oy bir xil ta'riflar bilan o'lchang, aks holda oylarni solishtirib bo'lmaydi.
2. Bosqichlarni mijoz turlari bo'yicha ham ajrating: telefondan kirganlar va kompyuterdan kirganlar konversiyasi juda farq qilishi mumkin.
3. O'zgarish kiritgandan keyin natijani tasodifiy tebranishdan ajratish uchun yetarlicha uzoq kuzating.

Bunday sinov A/B test deyiladi. 5% va 6,5% orasidagi farq ko'zga katta ko'rinadi, lekin bir necha o'nlab bosishlarda tasodif ham shuncha farq berishi mumkin. Buni tekshirish uchun statistikada ikki ulush farqi testi ishlatiladi.

G'oya: avval «aslida farq yo'q» deb faraz qilamiz (nol gipoteza) va kuzatilgan farq shu faraz bilan qanchalik kutilmagan ekanini o'lchaymiz.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Chimyon sayohat» firmasining reklama sinovi:

Odatda 95% ishonch darajasida farqni «tasodif emas» deyish uchun z ning moduli 1,96 dan katta bo'lishi kerak. 1,44 bu chegaraga yetmaydi. Demak, hozircha «B yaxshiroq» deb aniq ayta olmaymiz. Bu «B yomon» degani ham emas: ma'lumot yetarli emas.

Qancha odam kerak edi? 1,5 foiz punktlik farqni ishonchli aniqlash uchun (95% ishonch, 80% ehtimol bilan farqni sezish) har bir guruhga taxminan:

(1,96 + 0,84)² × (0,05 × 0,95 + 0,065 × 0,935) : 0,015² ≈ 3 773 kishi.

Agar har bir matnni 4 000 kishi ko'rsa va ulushlar o'sha-o'sha qolsa, z ≈ 2,88 bo'ladi va farq ishonchli hisoblanadi.

To'g'ri sinov uchun qoidalar:

1. Ikkala matnni bir vaqtda, tasodifiy tanlangan auditoriyaga ko'rsating, aks holda kun yoki hafta farqi natijani buzadi.
2. Kerakli odamlar sonini sinovdan oldin hisoblang va natija «yoqib qolgan» kuni to'xtatmang.
3. Bosishdan tashqari keyingi qadamni ham kuzating: ko'p bosilgan matn kam xaridga olib kelishi mumkin.

Ma'lumot oraliqlar bo'yicha guruhlangan bo'lsa, har bir oraliq ichidagi qiymatlar uning o'rtasida joylashgan deb faraz qilinadi. Shundan keyin oddiy vaznli o'rtacha hisoblanadi:

O'rtacha ≈ Σ (oraliq o'rtasi × kishilar soni) : jami kishilar

Bu aniq qiymat emas, balki yaxshi taxmin. Oraliqlar qancha tor bo'lsa, taxmin shuncha aniq.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Baquvvat» sport zalining 125 a'zosi. Oxirgi guruh anketada «60 yoshdan katta» deb ochiq yozilgan; uni oldingi guruh kengligiga teng, ya'ni 60–75 yosh deb oldik.

O'rtacha ≈ 3 935 : 125 ≈ 31,5 yosh.

Mediana (a'zolarning yarmi undan yosh bo'lgan yosh) ham guruhlangan jadvaldan topiladi. 125 ning yarmi 62,5. Birinchi guruhda 34 kishi, demak mediana ikkinchi guruhda (25–35). U yerda yana 62,5 − 34 = 28,5 kishini sanash kerak:

Mediana ≈ 25 + 28,5 : 58 × 10 ≈ 29,9 yosh.

O'rtacha (31,5) medianadan (29,9) katta, chunki kam sonli, lekin yoshi ancha katta a'zolar o'rtachani yuqoriga tortadi. Reklama va mashg'ulot jadvalini rejalashtirishda «odatdagi» a'zoni mediana yaxshiroq ko'rsatadi. Kichik guruhlarni esa alohida ko'rish kerak: bu misolda 45 yoshdan katta 12 kishi (9,6%) bor, ular uchun alohida mashg'ulot vaqti kerakmi, shuni ham o'ylab ko'rish mumkin.

Maslahat: imkon bo'lsa, anketada aniq yoshni (yoki tug'ilgan yilni) so'rang. Guruhlashni keyin istalgan ko'rinishda qilish mumkin, lekin guruhlangan ma'lumotdan aniq qiymatlarni qayta tiklab bo'lmaydi.

Shoshilmang. «O'tgan kunlar o'rtachasi × oy kunlari» usuli barcha kunlar bir xil savdo qiladi deb faraz qiladi. Agar sizda dam olish kunlari savdo boshqacha bo'lsa, o'tgan 12 kunda shunday kunlar qancha kelganiga qarab prognoz sezilarli o'zgaradi.

To'g'riroq usul — kunlarga «og'irlik» berish. O'z o'tgan oylaringiz ma'lumotidan dam olish kuni oddiy kunga nisbatan necha barobar ko'p savdo qilishini topasiz va kunlarni shu og'irlik bilan sanaysiz.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Yunusobod pishiriqlari» kafesida o'tgan oylar ma'lumotiga ko'ra shanba va yakshanba oddiy kunga nisbatan 1,5 barobar ko'p tushum beradi. Oy 30 kun: 22 ta ish kuni va 8 ta dam olish kuni. O'tgan 12 kun ichida 8 ta ish kuni va 4 ta dam olish kuni bo'lgan.

Oddiy hisob 115 mln deydi, og'irlikli hisob esa 111,7 mln. Sabab: oyning birinchi 12 kunida 8 ta dam olish kunining yarmi kelib bo'ldi, qolgan 18 kunda esa faqat 4 tasi qoldi. Demak, oxirigacha har kuni o'rtacha avvalgidan kamroq tushum bo'ladi.

Nimaga e'tibor berish kerak:

1. Prognozni har hafta yangilang: oy oxiriga qancha yaqinlashsangiz, shuncha aniq bo'ladi.
2. Faqat hafta kunlarini emas, oyga xos voqealarni ham hisobga oling: o'tgan oylarda tushum odatdagidan keskin farq qilgan har bir kunni belgilab, uning sababini yozib boring.
3. Prognoz «yetishmaydi» desa, bu harakat qilish uchun signal: qolgan 18 kunda kuniga taxminan 1,29 mln : 18 ≈ 71 ming so'm qo'shimcha tushum kerak, buni aksiya yoki yangi taom bilan rejalash mumkin.

Unchalik emas. 20 ta sinovda nosoz chiqmagani partiyada nosoz yo'qligini emas, faqat nosozlar ulushi juda katta emasligini ko'rsatadi. Buni ehtimollik bilan tekshirish mumkin.

Agar partiyada nosozlar ulushi q bo'lsa, tasodifiy tanlangan bitta lampaning soz chiqish ehtimoli (1 − q). 20 tasining hammasi soz chiqish ehtimoli taxminan (1 − q)²⁰. Partiya katta (1 000 dona) bo'lgani uchun bu yaqinlashish yetarli darajada aniq.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Nurli uy» do'koni uchun hisob:

Jadvalni o'qiymiz: partiyada har yigirmanchi lampa (5%) nosoz bo'lsa ham, 20 ta tekshiruvda hammasi soz chiqish ehtimoli 36%. Ya'ni bunday «yomon» partiyani uchta holatdan birida payqamay qolasiz.

Qancha tekshirish kerak? Agar «nosozlar 5% dan kam» degan xulosaga 95% ishonch bilan kelmoqchi bo'lsangiz, n ta lampaning hammasi soz chiqishi kerak, bunda 0,95ⁿ 5% dan kichik bo'lsin:

n > ln(0,05) : ln(0,95) ≈ 58,4, ya'ni kamida 59 ta.

Tez chamalash qoidasi ham bor: n ta sinovda bitta ham nosoz chiqmasa, nosozlar ulushining 95% ishonchli yuqori chegarasi taxminan 3 : n. 20 ta uchun bu 3 : 20 = 15%. Demak, sizning natijangiz «nosozlar 15% gacha bo'lishi mumkin» degan xulosaga mos keladi.

Amaliy maslahatlar:

1. Tekshiriladigan lampalarni qutilarning turli joylaridan, tasodifiy oling: yuqoridagi qutilardan olish natijani buzadi.
2. Ta'minotchi bilan shartnomada qabul qilish tartibini oldindan kelishing: nechta tekshiriladi va nechta nosoz chiqsa partiya qaytariladi.
3. Xaridorlardan qaytgan lampalarni ham hisoblab boring: bu eng arzon va uzluksiz sifat nazorati.

Bunday hollarda qatlamli (stratifikatsiyalangan) tanlov ishlatiladi. To'plam o'xshash guruhlarga — qatlamlarga bo'linadi va har bir qatlamdan alohida tasodifiy tanlov olinadi. Har qatlamdan nechta odam olinishi uning to'plamdagi ulushiga mos qilinadi (proporsional joylashtirish). Shunda tanlovda guruhlarning nisbati tasodifga bog'liq bo'lmaydi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Ohangaron qurilish mollari» do'konining 2 000 mijozi bor: 1 400 chakana, 400 ulgurji, 200 korporativ. 200 kishidan so'raladi.

Umumiy mamnunlik: (1 400 × 80% + 400 × 55% + 200 × 40%) : 2 000 = 71%.

Endi oddiy tasodifiy tanlovda chakana mijozlar ko'proq tushib qoldi deylik: 160 chakana, 30 ulgurji, 10 korporativ. Har guruhda mamnunlik o'sha-o'sha bo'lsa ham, tanlov natijasi (160 × 80% + 30 × 55% + 10 × 40%) : 200 = 74,25% chiqadi, ya'ni haqiqatdan 3,25 foiz punkt yuqori. Sabab — eng mamnun guruh tanlovda ortiqcha ko'p.

Qatlamli tanlovning qo'shimcha foydasi: har bir guruh bo'yicha alohida xulosa chiqarish mumkin. Bu misolda muammo aynan korporativ mijozlarda ekani darhol ko'rinadi.

Agar kichik guruhdan ataylab ko'proq odam so'ralsa (masalan, aniqroq bilish uchun korporativlardan 60 ta), umumiy natijani hisoblashda har bir guruh to'plamdagi haqiqiy ulushi bilan tortiladi, tanlovdagi soni bilan emas.

Ehtiyot bo'lish kerak. Javob bergan 300 kishi barcha mijozlarni emas, faqat kanalga obuna bo'lgan va so'rovga javob berishni xohlagan qismini ko'rsatadi. Statistikada buni tanlanish xatosi deyishadi: tanlov to'plamdan tasodifiy emas, ma'lum bir belgi bo'yicha «o'zi saralanib» olingan. Bunday xatoni tanlov hajmini oshirib tuzatib bo'lmaydi: 300 o'rniga 3 000 javob ham xuddi shu tomonga og'gan bo'ladi.

Bu so'rovda natijani ikki narsa yuqoriga og'diradi:

1. Kanalga asosan sodiq mijozlar obuna bo'ladi, norozi bo'lganlar esa ko'pincha allaqachon chiqib ketgan.
2. So'rovga javob berish ixtiyoriy: odatda fikri kuchli bo'lganlar javob beradi, befarq mijozlar indamaydi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Lazzat oshxonasi»ning oylik 1 000 doimiy mijozi bor, ulardan 600 tasi kanalga obuna. Obunachilar orasida mamnunlar 85%, obuna bo'lmaganlar orasida 50% deylik.

Kanaldagi so'rov eng yaxshi holatda ham 85% atrofini ko'rsatadi, javob berishni xohlaganlarning o'zi saralanishi bilan esa savoldagi 90% ga chiqishi mumkin. Barcha mijozlar bo'yicha haqiqiy ko'rsatkich esa 71%.

Ishonchliroq natija olish uchun:

1. Tanlovni barcha mijozlar ro'yxatidan oling (cheklar bazasi, sodiqlik kartasi), kanal obunachilaridan emas.
2. Tanlovni tasodifiy qiling: masalan, har 10-xaridorga kassada qisqa savol bering, kimga berishni xodim o'zi tanlamasin.
3. Javob bermaganlar ulushini yozib boring. U katta bo'lsa, natijani ehtiyotkorlik bilan talqin qiling.

Kanaldagi so'rov ham foydasiz emas: u sodiq mijozlarning fikrini yaxshi ko'rsatadi. Faqat uni «barcha mijozlarning fikri» deb e'lon qilmaslik kerak.

Har xil o'lchamdagi ko'rsatkichlarni solishtirish uchun standartlashtirilgan og'ish — z-ball qulay. U natija o'sha filialning odatdagi darajasidan necha standart chetlanishga uzoqlashganini ko'rsatadi:

z = (shu oydagi natija − odatdagi o'rtacha) : standart chetlanish

Shunday qilib har bir filial o'zining «odatdagi tebranishi» bilan o'lchanadi. Taqsimot taxminan normal bo'lsa, qiymatlarning qariyb 95 foizi o'rtacha ± 2 standart chetlanish oralig'ida yotadi. Shuning uchun amaliyotda z-ball taxminan 2 va undan katta bo'lsa (yoki −2 va undan kichik bo'lsa), natija g'ayrioddiy deb qaraladi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). Oxirgi 24 oy ma'lumotlari bo'yicha:

So'mda katta filial ko'proq qo'shdi, lekin uning tushumi odatda ham ±16 mln atrofida tebranadi, shuning uchun +20 mln oddiy tebranish doirasida. Kichik filialda esa +12 mln ikki standart chetlanishga teng: bu uning uchun haqiqatan kam uchraydigan natija va sababini o'rganishga arziydi.

Z-ball salbiy tomonda ham ishlaydi: biror oy z = −2 ga yaqin chiqsa, bu ham tasodif emas, tekshirish kerak degan signal.

E'tibor bering: mavsumiylik kuchli bo'lsa, o'rtacha va standart chetlanishni butun yil bo'yicha emas, o'tgan yillarning o'sha oyi bo'yicha oling. Aks holda dekabr har yili «g'ayrioddiy» bo'lib chiqaveradi.

Buning uchun kogorta tahlili qilinadi. Kogorta — bir xil davrda birinchi marta kelgan mijozlar guruhi (masalan, yanvar mijozlari). Keyin har bir kogortaning keyingi oylarda necha foizi qaytib kelgani kuzatiladi:

Ushlab qolish darajasi = keyingi oyda qaytib kelganlar : kogortadagi mijozlar soni

Umumiy mijozlar soni bu manzarani yashiradi: yangi kelganlar ketib qolayotganlarning o'rnini to'ldirib tursa, jami raqam o'zgarmaydi va muammo ko'rinmaydi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Chiroyli soch» sartaroshxonasi mijozlarni telefon raqami bo'yicha yuritadi.

Jadvalni qanday o'qish kerak:

1. Kogortalarni bir xil «yoshi» bo'yicha solishtiring: 1 oydan keyin yanvar mijozlarining 45 foizi, fevral mijozlarining 50 foizi qaytgan. Fevralda nimadir yaxshilangan (masalan, birinchi tashrifdan keyin eslatma xabari yuborila boshlagan) bo'lishi mumkin.
2. Qatorning o'zida egri chiziqqa qarang: yanvar kogortasi 45% → 35% → 30%. Pasayish sekinlashib boryapti, demak 30 foiz atrofida doimiy mijozlar «o'zagi» shakllanmoqda.
3. Birinchi oydagi yo'qotish eng katta: 200 dan 110 tasi qaytmagan. Eng katta imkoniyat shu yerda — birinchi tashrif tajribasini yaxshilash.

Amaliy maslahat: kogorta jadvalini har oy bitta yangi qator va bitta yangi ustun qo'shib yangilab boring. Ushlab qolishning bir necha foiz punktga oshishi ko'pincha yangi mijoz jalb qilishdan arzonroq tushadi.

Eng ko'p uchraydigan sabab — vertikal o'q noldan boshlanmagan. Ustunli grafikda ko'z ustunlarning balandligini solishtiradi. O'q, masalan, 495 mln dan boshlansa, har bir ustunning faqat 495 dan yuqori qismi chiziladi va kichik farq ulkan bo'lib ko'rinadi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). Oylik tushum: 500, 505, 512, 520 mln so'm.

Grafikni ko'rganda tekshiriladigan uchta narsa:

1. Vertikal o'q qayerdan boshlanadi. Ustunli grafikda o'q noldan boshlanishi kerak. Chiziqli grafikda noldan boshlanmasligi mumkin, lekin o'q yozuvlari aniq ko'rinsin.
2. Gorizontal o'qdagi oraliqlar tengmi. Bir joyda oylar, boshqa joyda choraklar aralashib ketsa, o'sish sur'ati buziladi.
3. Ikki xil vertikal o'q bormi. Chap o'qda tushum, o'ng o'qda foyda bo'lsa, o'qlarni tanlab chiziqlarni xohlagancha «yaqinlashtirish» yoki «uzoqlashtirish» mumkin.

To'g'ri yo'l: kichik o'zgarishni ko'rsatmoqchi bo'lsangiz, ustunlar o'rniga o'zgarishning o'zini chizing (har oyning o'tgan oyga nisbatan foizi) yoki grafik yoniga aniq raqamlarni yozing. Shunda auditoriya 4 foizni 4 foiz deb ko'radi.

Bu faqat odob masalasi emas: noto'g'ri grafik asosida qabul qilingan qaror (masalan, «tez o'syapmiz, xodim qo'shamiz») korxonaga real xarajat keltiradi.

Buning uchun ABC tahlil (Pareto tamoyiliga asoslangan saralash) qulay. Tartibi oddiy:

1. Har bir tovar guruhining davr ichidagi tushumini yozing.
2. Ularni kattadan kichikka qarab tartiblang.
3. Har birining jami tushumdagi ulushini va yig'ilib boruvchi (kumulyativ) ulushni hisoblang.
4. Kumulyativ ulush bo'yicha guruhlarni uch sinfga bo'ling.

Amaliyotda ko'p qo'llanadigan chegaralar: A sinf — kumulyativ ulushning taxminan 80 foizigacha, B — keyingi taxminan 15 foiz, C — qolgani. Bu qat'iy qoida emas, chegaralarni korxona o'zi tanlaydi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Nurafshon xo'jalik mollari» do'konining yillik tushumi, mln so'm:

Natija: 10 guruhdan 4 tasi (assortimentning 40 foizi) tushumning 80 foizini beryapti. Demak, A sinfdagi tovarlar hech qachon tugab qolmasligi, peshtaxtada ko'zga tashlanadigan joyda turishi va narxi har hafta kuzatilishi kerak. C sinf uchun esa zaxirani kamaytirib, buyurtmani kamroq berish mumkin.

Maslahat: ABC tahlilni faqat tushum bo'yicha emas, yalpi foyda bo'yicha ham qiling. Tushumi katta, lekin ustamasi kichik tovar foyda bo'yicha B yoki C sinfga tushib qolishi mumkin — ikkala jadvalni yonma-yon qo'yish qaysi tovarga ko'proq e'tibor kerakligini aniqroq ko'rsatadi.

O'rtacha narx ikki sababga ko'ra o'zgaradi: har bir tovarning o'z narxi o'zgargani va sotuv tarkibi (qaysi tovar qancha sotilgani) o'zgargani. Statistikada buni uchta indeks bilan ajratishadi:

• o'zgaruvchan tarkibli indeks — joriy o'rtacha narx : bazis o'rtacha narx;
• o'zgarmas (qayd etilgan) tarkibli indeks — joriy narxlar va joriy miqdorlar bilan tushum : bazis narxlar va joriy miqdorlar bilan tushum (sof narx ta'siri);
• tarkibiy siljishlar indeksi — bazis narxlar va joriy tarkib bilan o'rtacha narx : bazis o'rtacha narx (sof tarkib ta'siri).

Birinchisi qolgan ikkitasining ko'paytmasiga teng.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Tandirchi» novvoyxonasi kuniga 1 000 dona non sotadi.

Hisob:

Tekshiruv: 1,071 × 1,346 = 1,442.

Xulosa: narx oshirish o'rtacha narxni atigi 7,1 foizga ko'tardi, asosiy o'sish (34,6 foiz) xaridorlar qimmatroq patirni ko'proq olayotganidan. Bu muhim farq: agar keyingi oy xaridorlar yana oddiy nonga qaytsa, narxlar o'zgarmasa ham o'rtacha narx keskin tushadi va buni «narx pasaydi» deb noto'g'ri talqin qilish mumkin.

Maslahat: kassa hisobotidagi «o'rtacha chek» yoki «o'rtacha narx» o'zgarganda, xulosa chiqarishdan oldin tarkibni ham tekshiring — aks holda narx siyosati haqida noto'g'ri qaror qabul qilinadi.

Eng katta va eng kichik ish haqini solishtirish faqat ikki kishiga qaraydi, o'rtadagilarni hisobga olmaydi. Butun taqsimotni ko'rsatish uchun ikki usul ko'p ishlatiladi.

1. Fondlar koeffitsienti: eng ko'p oladigan guruh xodimlarining jami ish haqi : eng kam oladigan xuddi shunday hajmdagi guruhning jami ish haqi. Statistika amaliyotida u ko'pincha 10 foizli guruhlar (detsillar) bo'yicha hisoblanadi. Kichik jamoada 10 foizli guruh bitta kishidan iborat bo'lib qoladi va koeffitsient oddiy «eng ko'p : eng kam» nisbatiga aylanadi, shuning uchun bu yerda 20 foizli guruhlar (kvintillar) olinadi — bu kvintil fondlar koeffitsienti deyiladi.

1. Lorens egri chizig'i va Jini koeffitsienti. Xodimlar ish haqi o'sishi tartibida teng guruhlarga bo'linadi, so'ng «xodimlarning kumulyativ ulushi» va «ish haqi fondining kumulyativ ulushi» solishtiriladi. Jini koeffitsienti 0 dan 1 gacha bo'ladi: 0 — hamma teng oladi, 1 ga yaqinlashgan sari tengsizlik kuchayadi. Guruhlangan ma'lumot uchun formula: G = 1 − Σ (Xₖ − Xₖ₋₁) × (Yₖ + Yₖ₋₁), bu yerda X — xodimlarning, Y — ish haqining kumulyativ ulushi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Yashil vodiy» sexida 10 xodim bor, oylik ish haqlari (mln so'm): 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 8, 16. Jami fond 60 mln so'm. Har guruhda 2 kishi (20 foiz):

Kvintil fondlar koeffitsienti: 24 : 6 = 4. Eng yuqori va eng past ish haqi nisbati esa 16 : 3 ≈ 5,3 — bu bitta xodimning (16 mln) ta'sirini bo'rttirib ko'rsatadi.

Jini koeffitsienti: G = 1 − 0,2 × [(0,100 + 0) + (0,233 + 0,100) + (0,400 + 0,233) + (0,600 + 0,400) + (1,000 + 0,600)] = 1 − 0,2 × 3,667 ≈ 0,267. Har bir xodim alohida olinsa, aniq qiymat 0,28 chiqadi: guruhlash guruh ichidagi farqni yashirgani uchun koeffitsientni biroz pasaytiradi.

Amaliy foyda: koeffitsientni har yili bir xil usulda hisoblab borsangiz, ish haqi tizimidagi o'zgarishlar (yangi mukofot tizimi kabi) tengsizlikni oshirdimi yoki kamaytirdimi — aniq ko'rinadi. Bir firmadagi koeffitsientni boshqa firma yoki mamlakat ko'rsatkichi bilan solishtirishda ehtiyot bo'ling: xodimlar soni va guruhlash usuli bir xil bo'lmasa, solishtirish to'g'ri chiqmaydi.

Tanlamadan olingan ulush har doim taxmin bo'ladi. Uning aniqligini xatolik chegarasi bilan ko'rsatish mumkin. Taxminan 95 foizli ishonch darajasi uchun oddiy formula:

xatolik chegarasi ≈ 1,96 × √(p × (1 − p) : n),

bu yerda p — tanlamadagi ulush, n — tanlama hajmi. Bu formula tanlama haqiqatan tasodifiy bo'lgandagina ishlaydi va tanlama butun to'plamga nisbatan kichik bo'lganda yaxshi natija beradi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Hilol optika» bazasida 2 000 mijoz bor, tasodifiy tanlangan 200 kishidan 120 tasi mamnun.

Demak, «mamnunlar 60 foiz» degandan ko'ra «taxminan 53 dan 67 foizgacha» deyish halolroq. Agar keyingi chorakda so'rovda 63 foiz chiqsa, bu o'sish xatolik chegarasi ichida — uni «yaxshilanish» deb e'lon qilishga hali erta.

Kerakli tanlama hajmi. Xatolik ±5 foiz punktdan oshmasligini istasangiz, eng ehtiyotkor holat (p = 0,5) uchun: n = 1,96² × 0,5 × 0,5 : 0,05² ≈ 384,2, ya'ni 385 kishi. To'plam atigi 2 000 kishi bo'lgani uchun cheklangan to'plam tuzatmasi qo'llanadi: n = 384,16 : (1 + 383,16 : 2 000) ≈ 322,4, ya'ni yuqoriga yaxlitlab 323 kishi.

Yodda tuting: tanlamani kattalashtirish faqat tasodifiy xatoni kamaytiradi. Agar so'rov faqat do'konga o'zi kelgan mijozlar orasida o'tkazilsa yoki faqat doimiy mijozlarga yuborilsa, natija bir tomonga og'adi va buni hech qanday formula tuzatmaydi.

Bitta oyni o'tgan yilning shu oyi bilan solishtirish mavsumiylikni chiqarib tashlaydi, lekin u tasodifiy omillarga (bayram, ob-havo, ta'mir kunlari) juda sezgir. Shuning uchun u bilan birga yil boshidan buyon yig'ilib boruvchi (kumulyativ) tushumni o'tgan yilning xuddi shu davri bilan solishtirish kerak. Uchinchi foydali ko'rsatkich — har oy uchun o'tgan yilning shu oyiga nisbatan o'sish qatori: u o'sish sekinlashayotganini oldindan ko'rsatadi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Bahor» kafesining oylik tushumi, mln so'm:

Uch xulosa chiqadi:

1. Yil boshidan buyon kafe o'tgan yilga nisbatan 10 foiz ko'p tushum olgan — umumiy holat yomon emas.
2. Oktabrdagi pasayish tasodif emas: o'sish sur'ati iyuldan beri har oy kamayib kelgan (9,1 → 7,8 → 4,4 → −8,0). Ya'ni muammo bir oyda emas, bir necha oy davomida shakllangan.
3. Agar faqat kumulyativ ko'rsatkichga qaralganda, bu sekinlashuv ko'rinmay qolardi, faqat oktabrga qaralganda esa vahima bo'rttirilardi.

Maslahat: oylik hisobotga uchala ko'rsatkichni — joriy oy, yil boshidan buyon va o'sish sur'atlari qatorini — bitta jadvalda kiriting. Sekinlashuv 2–3 oy ketma-ket davom etsa, sababini aynan shu paytdan izlashni boshlash kerak.

Tushum bir tekis o'sib borayotgan bo'lsa, ikki oddiy usul bor: o'rtacha absolyut o'sish va o'rtacha o'sish sur'ati. Birinchisi har oy taxminan bir xil summaga oshishni, ikkinchisi bir xil foizga oshishni faraz qiladi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Guliston qurilish mollari» do'konining tushumi, mln so'm:

1-usul. O'rtacha absolyut o'sish = (oxirgi − birinchi) : (davrlar soni − 1) = (55 − 40) : 5 = 3 mln so'm. Iyul chamasi: 55 + 3 = 58 mln so'm.

2-usul. O'rtacha o'sish sur'ati = (55 : 40) ning 5-darajali ildizi ≈ 1,066, ya'ni oyiga taxminan 6,6%. Iyul chamasi: 55 × 1,066 ≈ 58,6 mln so'm.

Ikki natija yaqin, shuning uchun xarid rejasini 58–59 mln so'mlik sotuvga mo'ljallab tuzish mumkin.

Cheklovlar:

• bu usullar faqat bir-ikki oy oldinga chamalash uchun yaraydi;
• tushum mavsumga bog'liq bo'lsa (masalan, qurilish mollari qishda kam sotiladi), mavsumiylikni hisobga olmasdan qilingan chamalash xato beradi;
• birinchi va oxirgi oy g'ayrioddiy bo'lsa, natija buziladi, chunki formula faqat shu ikki nuqtaga tayanadi.

Tushum ma'lumotini 9020 «Tovarlarni sotishdan daromadlar» schyotining oylik kredit aylanmasidan olish qulay.

Buning uchun kvartillar qulay. Qiymatlar o'sish tartibida tizilib, to'rt teng qismga bo'linadi: Q1 (birinchi kvartil) — qiymatlarning chorak qismi undan kichik; Q2 — mediana; Q3 — qiymatlarning to'rtdan uch qismi undan kichik. Q1 dan Q3 gacha bo'lgan oraliqqa cheklarning o'rtadagi yarmi tushadi va unga bitta katta chek deyarli ta'sir qilmaydi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Bahor kafe»da bir kunda 12 ta chek bo'ldi, ming so'm: 18, 22, 25, 27, 30, 32, 35, 38, 41, 45, 60, 140.

Xulosa: odatdagi chek 26–43 ming so'm oralig'ida. 140 ming so'mlik chek yuqori chegaradan (68,5) ancha baland, ya'ni chetga chiqqan qiymat: ehtimol, banket yoki katta buyurtma. U o'rtacha arifmetikni 42,75 ga ko'tarib yuborgan, holbuki cheklarning yarmi 33,5 dan kichik.

«Q3 + 1,5 × kenglik» qoidasi chetga chiqqan qiymatlarni topishning keng tarqalgan usuli. Kvartillarni hisoblashning bir necha usuli borligini ham unutmang: elektron jadval dasturlari biroz boshqacha natija berishi mumkin, shuning uchun bir tahlilda bitta usulda qoling.

Amaliy foyda: kombo-taom narxini odatdagi oraliqqa moslab belgilash va katta buyurtmalarni alohida tahlil qilish mumkin.

Ikki ko'rsatkich birga qanchalik o'zgarishini Pirson korrelyatsiya koeffitsienti (r) ko'rsatadi. U −1 dan +1 gacha bo'ladi: +1 ga yaqin — biri oshganda ikkinchisi ham barqaror oshadi, 0 ga yaqin — chiziqli bog'liqlik yo'q, −1 ga yaqin — biri oshganda ikkinchisi kamayadi.

Formula: r = Σ(dx × dy) : √(Σdx² × Σdy²), bu yerda dx va dy — har bir qiymatning o'z o'rtachasidan farqi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Navbahor mebel» 5 oy davomida, mln so'm:

r = 32 : √(10 × 114) = 32 : 33,76 ≈ 0,95. Bu juda kuchli to'g'ri bog'liqlik. r² ≈ 0,90, ya'ni tushum tebranishining taxminan 90% i reklama bilan chiziqli bog'liqlik orqali tushuntiriladi (statistik ma'noda, sabab sifatida emas). Qiyalik 32 : 10 = 3,2: reklama 1 mln so'mga ko'p bo'lgan oylarda tushum o'rtacha 3,2 mln so'mga ko'p bo'lgan.

Ehtiyot bo'ling:

• kuchli korrelyatsiya sabab-oqibatni isbotlamaydi: reklama mavsumda ko'paytirilgan bo'lsa, tushumni mavsum oshirgan bo'lishi mumkin;
• 5 ta kuzatuv juda kam, xulosani kamida bir yillik ma'lumot bilan tekshiring.

Reklama xarajati summasini buxgalteriyadan olish oson: chetdan olingan reklama va marketing xizmatlari Dt 9410 «Sotish xarajatlari» — Kt 6010 bilan yoziladi (21-son BHMS, 412-band, 2-qator).

Bu Simpson paradoksi deyiladi: guruhlarning har birida bir tomon ustun bo'lsa ham, guruhlar birlashtirilganda natija teskari chiqishi mumkin. Sabab — guruhlarning hajmi har xil: kimdir oson guruhdan ko'p mijoz olgan bo'lsa, uning umumiy foizi yuqori chiqadi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). Ko'rsatkich — taklif qilingan mijozlardan necha foizi xarid qildi.

Anvar ikkala guruhda ham yaxshiroq. Lekin Botirning mijozlari asosan chakana (250 ta), u yerda xarid foizi baribir yuqori. Anvarning yarim mijozi esa sotish qiyin bo'lgan ulgurji guruhdan. Umumiy foiz shu tarkib farqini aks ettiryapti, mahoratni emas.

To'g'ri solishtirish uchun:

• natijani guruhlar bo'yicha alohida ko'ring;
• yoki ikkala menejerga bir xil mijozlar tarkibini qo'llab hisoblang: masalan, har guruhdan 100 tadan bo'lsa, Anvar (80 + 20) : 200 = 50%, Botir (72 + 10) : 200 = 41%.

Xulosa: menejerlarni rag'batlantirishda faqat umumiy foizga qaramang — kimga qanday mijoz biriktirilganini ham hisobga oling.

Oylar uzunligi har xil bo'lgani uchun oylik summalarni to'g'ridan-to'g'ri solishtirish noto'g'ri xulosa berishi mumkin. Avval ko'rsatkichni bir kunga (har kuni ishlaydigan biznesda) yoki bir ish kuniga (dam olish kunlari yopiq biznesda) keltiring, keyin solishtiring.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Samarqand non uyi» har kuni ishlaydi:

Hisob: 171,6 : 186 = 0,923 (oylik summa 7,7% kam); 171,6 : 28 = 6,129 va 6,129 : 6 = 1,021 (kunlik tushum 2,1% ko'p). Demak, savdo aslida yomonlashmagan, balki biroz yaxshilangan.

Yana ikki holatni hisobga oling:

• dam olish va bayram kunlari: yopiq kunlar bo'lsa, kalendar kun emas, ishlagan kunlar soniga bo'ling;
• mavsum: fevralni yanvar bilan emas, o'tgan yilning fevrali bilan solishtirish mavsum ta'sirini ham olib tashlaydi.

Hisobotda ikkala ko'rsatkichni yonma-yon bering: oylik summa reja bilan solishtirish uchun, kunlik o'rtacha esa ish sur'atini baholash uchun kerak.

Qoldiq — bu bir lahzadagi holat (momentli ko'rsatkich). Bunday qatorda oddiy o'rtacha arifmetik emas, xronologik o'rtacha ishlatiladi: birinchi va oxirgi qoldiqning yarmi, oradagi qoldiqlar to'liq olinadi va yig'indi oraliqlar soniga (sanalar soni minus bir) bo'linadi. Sababi: har bir oy ikki sana orasida turadi, chetdagi sanalar esa faqat bitta oyga «xizmat qiladi».

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Yulduzcha» do'koni bo'yicha 2910 «Ombordagi tovarlar» qoldig'i:

Xronologik o'rtacha: (40 : 2 + 46 + 50 + 44 : 2) : 3 = (20 + 46 + 50 + 22) : 3 = 138 : 3 = 46 mln so'm.

Agar to'rtala qoldiqni oddiy qo'shib 4 ga bo'lsak, (40 + 46 + 50 + 44) : 4 = 45 mln so'm chiqadi — bu chorak boshi va oxiriga ortiqcha vazn beradi.

Maslahat: o'rtacha zaxira zaxira aylanuvchanligi kabi ko'rsatkichlarning maxrajiga kiradi. Shuning uchun uni bir xil usulda hisoblang, aks holda turli choraklarni solishtirish noto'g'ri bo'ladi.

Yo'q, bu holatda oddiy o'rtacha arifmetik o'rtacha narxni oshirib ko'rsatadi. Har safar summa bir xil bo'lgani uchun narx arzon bo'lganda ko'proq qop, qimmat bo'lganda kamroq qop olinadi. Bunday qatorda o'rtacha garmonik ishlatiladi: qiymatlar soni ularning teskari qiymatlari yig'indisiga bo'linadi.

O'rtacha garmonik = n : (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ).

Amalda bu «jami sarflangan pul : jami olingan miqdor» bilan bir xil natija beradi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). "Tandir non" novvoyxonasi oy davomida uch marta un oldi, har safar 12 000 000 so'mga.

To'g'ri o'rtacha narx: 36 000 000 : 120 = 300 000 so'm. Garmonik formula bilan tekshiruv: 3 : (1/240 000 + 1/300 000 + 1/400 000) = 3 : (12/1 200 000) = 300 000 so'm.

Oddiy o'rtacha arifmetik: (240 000 + 300 000 + 400 000) : 3 = 313 333 so'm. Bu 13 333 so'm ortiq, chunki arzon narxda olingan 50 qop bilan qimmat narxda olingan 30 qopga bir xil «vazn» beradi.

Qaysi o'rtachani tanlash qanday ma'lumot borligiga bog'liq:

• har bir narxda olingan miqdor ma'lum bo'lsa — miqdor bo'yicha tortilgan o'rtacha arifmetik;
• har bir narxga sarflangan summa ma'lum bo'lsa — o'rtacha garmonik (summalar teng bo'lmasa, tortilgan garmonik: jami summa : har bir summa narxiga bo'linganlar yig'indisi).

Buxgalteriya bilan bog'liqligi: oy boshida un qoldig'i bo'lmasa, AVECO usulida bir qopning tannarxi ham aynan shu 300 000 so'm chiqadi, chunki 4-son BHMSning 65-bandiga ko'ra o'rtacha tortilgan qiymat jami qiymat va jami miqdordan kelib chiqib aniqlanadi.

Yo'q, o'lchami har xil obyektlarni mutlaq summa bilan solishtirish adashtiradi. Buning uchun intensivlik nisbiy ko'rsatkichi ishlatiladi: bir ko'rsatkich boshqa, u bilan bog'liq ko'rsatkichga bo'linadi — masalan, tushum savdo maydoniga yoki xodimlar soniga. Tushum summasini oy bo'yicha daromad schyotining kredit aylanmasidan olasiz.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). Noyabr oyi:

Hisob: 90 000 000 : 120 = 750 000; 54 000 000 : 45 = 1 200 000; 90 000 000 : 6 = 15 000 000; 54 000 000 : 3 = 18 000 000.

Katta do'kon tushumi ko'p, lekin har bir kvadrat metr va har bir sotuvchi kichik do'konda ko'proq pul ishlab topyapti. Bu katta do'konda bo'sh turgan maydon yoki kam aylanadigan tovar borligiga ishora bo'lishi mumkin — sababini alohida tahlil qilish kerak.

Tushumni ikki omil ko'paytmasi deb qarash mumkin: tushum = cheklar soni × o'rtacha chek. Har bir omil ta'sirini zanjirli almashtirish usuli bilan ajratasiz: avval miqdoriy omil (cheklar soni) o'zgaradi, sifat omili (o'rtacha chek) esa eski darajada turadi; keyin sifat omili ham yangisiga almashtiriladi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar). «Qaldirg'och» kafesi:

Umumiy o'sish: 143 000 000 − 120 000 000 = 23 000 000 so'm.

• Cheklar soni ta'siri: (2 200 − 2 000) × 60 000 = 12 000 000 so'm;
• o'rtacha chek ta'siri: 2 200 × (65 000 − 60 000) = 11 000 000 so'm.

Tekshiruv: 12 000 000 + 11 000 000 = 23 000 000 so'm.

Xulosa: o'sishning qariyb yarmini yangi mijozlar, qolganini katta buyurtmalar bergan. Agar o'rtacha chek faqat narx oshgani hisobiga o'sgan bo'lsa, buni ham alohida tekshiring — mijozlar soni keyingi oylarda kamayib ketishi mumkin.

Buni o'sishning bir foizi mutlaq qiymati ko'rsatadi: mutlaq o'sish o'sish sur'atiga (foizda) bo'linadi. Natija har doim oldingi davr darajasining yuzdan biriga teng bo'ladi. Ya'ni bir xil foizli o'sish katta bazada ko'proq so'mni anglatadi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar):

Hisob: 8 : 10 = 0,8 mln; 3 : 10 = 0,3 mln. Tekshiruv: 80 : 100 = 0,8; 30 : 100 = 0,3.

Amaliy foyda: kichik filial uchun 20% o'sish rejasi «Shimol»dagi 10% dan ham kamroq qo'shimcha pul beradi (30 × 20% = 6 mln, 80 × 10% = 8 mln). Shuning uchun maqsadlarni faqat foizda emas, so'mda ham qo'yish kerak.

O'rtacha arifmetik bitta juda katta qiymatga sezgir: rahbarning yuqori maoshi o'rtachani yuqoriga tortib ketadi. Bunday holda "odatdagi" xodimning maoshini mediana yaxshiroq ko'rsatadi: qiymatlar tartiblanganda o'rtada turgan son.

Juft sonli qiymatlarda mediana o'rtadagi ikki sonning o'rtachasi bo'ladi. Shuning uchun hisobotda ikkalasini birga berish foydali: farq katta bo'lsa, taqsimotda keskin ajralib turgan qiymat bor degani.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar): "Mehr dizayn" da 6 kishi oyiga (mln so'm): 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 25. Yig'indi 45, o'rtacha 45 / 6 = 7,5 mln. Mediana (4 + 4,5) / 2 = 4,25 mln. Oltidan beshtasi 7,5 mln dan kam oladi, mediana esa ularning haqiqiy darajasini ko'rsatadi.

Yo'q. Foizlar har yil o'zgargan bazaga hisoblanadi, shuning uchun ularni oddiy qo'shib bo'lish xato natija beradi. O'rtacha yillik o'sish sur'ati geometrik o'rtacha bilan topiladi: yillik koeffitsientlar ko'paytiriladi va yillar soni darajasidagi ildiz olinadi.

Tekshirish oson: topilgan o'rtacha sur'atni har yilga qo'llasangiz, oxirgi yilning haqiqiy natijasi chiqishi kerak. Oddiy o'rtacha bu sinovdan o'tmaydi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar): "Durdona kitob" savdosi 100 mln so'm edi. 1-yil: 100 × 1,3 = 130 mln. 2-yil: 130 × 0,9 = 117 mln. Koeffitsientlar ko'paytmasi 1,3 × 0,9 = 1,17; ildiz √1,17 ≈ 1,0817, ya'ni o'rtacha yillik o'sish ≈ 8,17%. Tekshiruv: 100 × 1,0817 × 1,0817 ≈ 117 mln. "10%" bilan esa 121 mln chiqardi, bu noto'g'ri.

Buning uchun sirg'aluvchi (harakatlanuvchi) o'rtacha qo'llaniladi. Har safar ketma-ket bir necha davrning o'rtachasi olinadi, keyin oyna bir qadam oldinga suriladi. Tasodifiy sakrashlar tekislanadi va asosiy tendensiya ko'rinadi.

Oyna qanchalik keng bo'lsa, chiziq shunchalik silliq, lekin o'zgarishga kechroq javob beradi. Oddiy savdo uchun 3 yoki 4 davrlik oyna ko'p ishlatiladi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar): "Yulduz nonvoyxonasi" ning 6 haftalik savdosi (mln so'm): 10, 14, 9, 13, 16, 12. Uch haftalik sirg'aluvchi o'rtacha: (10 + 14 + 9) / 3 = 11; (14 + 9 + 13) / 3 = 12; (9 + 13 + 16) / 3 ≈ 12,67; (13 + 16 + 12) / 3 ≈ 13,67. Haftalik raqamlar sakrab tursa ham, o'rtachalar 11 dan 13,67 gacha bir tekis o'syapti.

Mavsumiylik indeksi: har bir davrdagi ko'rsatkichning butun davrlar o'rtachasiga nisbati, foizda. 100% dan yuqori bo'lsa, o'sha davr o'rtachadan kuchli; past bo'lsa, zaif. Barcha choraklar indekslarining o'rtachasi 100% bo'ladi.

Bu indeks xarid va xodimlar sonini rejalashtirishda yordam beradi. Aniqroq natija uchun bir necha yil ma'lumotini olib, har chorakni yillar bo'yicha o'rtachalash maqsadga muvofiq.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar): "Muzbek" sexining choraklik savdosi (mln so'm): 20, 60, 90, 30. Choraklik o'rtacha: 200 / 4 = 50. Indekslar: 20 / 50 = 40%; 60 / 50 = 120%; 90 / 50 = 180%; 30 / 50 = 60%. Tekshiruv: (40 + 120 + 180 + 60) / 4 = 100%. Demak, 3-chorakda zaxira o'rtacha chorakdagidan 1,8 baravar ko'p kerak.

Tuzilma (struktura) ko'rsatkichi: har bir qismning butunga nisbati, foizda. Har bir guruh summasi jami summaga bo'linadi va 100 ga ko'paytiriladi. Barcha ulushlar yig'indisi 100% bo'lishi shart, bu eng oddiy tekshiruv.

Tuzilmani davrlar bo'yicha solishtirish ayniqsa foydali: jami tushum o'zgarmasa ham, ulushlar siljishi mijozlar didi o'zgarayotganini ko'rsatadi. Bunda ulush o'zgarishi foiz punktlarda aytiladi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar): "Kafe Bodom" oylik tushumi 50 mln so'm: ovqat 30, ichimlik 12, desert 8. Ulushlar: 30 / 50 = 60%; 12 / 50 = 24%; 8 / 50 = 16%; jami 100%. Keyingi oy desert ulushi 16% dan 20% ga chiqsa, bu 4 foiz punktlik o'sish: menyuni kengaytirish uchun signal.

Buning uchun "savat" usulidagi narx indeksi hisoblanadi. Miqdorlar bazis davrdagidek qotirib qo'yiladi, so'ng savatning joriy narxdagi qiymati bazis narxdagi qiymatiga bo'linadi. Miqdor o'zgarmagani uchun indeks faqat narx ta'sirini ko'rsatadi.

Bitta mahsulot narxining o'sishi emas, savatdagi ulushi katta mahsulotlar indeksga ko'proq ta'sir qiladi. Shuning uchun indeksni har bir mahsulot o'sishining oddiy o'rtachasi bilan almashtirib bo'lmaydi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar): savat: 4 ta non va 2 litr sut. Bazis narxlar: non 3 000, sut 10 000 so'm. Joriy: non 3 300, sut 12 000. Bazis savat: 4 × 3 000 + 2 × 10 000 = 32 000. Joriy savat: 4 × 3 300 + 2 × 12 000 = 37 200. Indeks: 37 200 / 32 000 = 1,1625, ya'ni narxlar 16,25% oshgan. Mahsulotlar o'sishining oddiy o'rtachasi esa (10% + 20%) / 2 = 15% bo'lardi.

Pulda o'lchangan (nominal) o'sish ichida ikki narsa bor: ko'proq sotish va qimmatroq sotish. Haqiqiy (real) o'sishni topish uchun joriy tushum narx indeksiga bo'linadi, ya'ni bazis narxlarga keltiriladi. Bu amal deflyatsiyalash deyiladi.

E'tibor bering: 15% dan 10% ni ayirish (5%) taxminiy natija beradi. To'g'ri hisob bo'lish orqali: 1,15 / 1,10.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar): "Sardor maishiy" do'konining tushumi 200 mln so'mdan 230 mln so'mga chiqdi, narxlar 10% oshgan. Bazis narxlardagi tushum: 230 / 1,1 ≈ 209,09 mln. Real o'sish: 209,09 / 200 − 1 ≈ 4,55%. Ya'ni sotilgan tovar hajmi taxminan 4,55% ko'paygan, qolgani narx hisobidan.

Yo'q. Ikki ko'rsatkichning birga o'zgarishi (bog'liqlik, korrelyatsiya) ulardan biri ikkinchisiga sabab ekanini isbotlamaydi. Ko'pincha ikkalasiga ta'sir qiladigan uchinchi omil bo'ladi.

Bu misolda uchinchi omil: yomg'irli, salqin havo. U ham soyabonga, ham issiq choyga talabni oshiradi. Agar sababni bilmasdan qaror qilsangiz, masalan, soyabon reklamasiga pul tiksangiz, choy savdosi oshmaydi.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar): "Oqsaroy do'koni" 10 kunlik daftari: quruq 5 kunda o'rtacha 2 ta soyabon va 30 stakan choy, yomg'irli 5 kunda 12 ta soyabon va 70 stakan choy sotilgan. Bog'liqlik kuchli ko'rinadi, lekin kunlarni havo bo'yicha ajratib qarasangiz, ikkala savdo ham ob-havoga ergashayotgani ayon bo'ladi.

To'g'ri tuzilgan tanlama butun to'plam haqida yaxshi taxmin beradi. Asosiy shart: har bir mijozning tanlamaga tushish imkoniyati teng bo'lishi kerak (tasodifiy tanlash). Shunda tanlamadagi ulush butun to'plamdagi ulushga yaqin chiqadi.

Xato ko'pincha tanlash usulida bo'ladi: faqat ertalabki mijozlardan yoki faqat doimiy mijozlardan so'rash natijani bir tomonga og'diradi. Tanlama hajmini oshirish bu xatoni tuzatmaydi. Shuningdek, natija taxmin ekanini va ma'lum xatolik oralig'i borligini unutmang.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar): "Hilol optika" 2 000 mijozli bazadan tasodifiy tarzda 200 kishini tanlab, ulardan so'radi. 120 kishi xizmatdan mamnun: 120 / 200 = 60%. Butun 2 000 mijoz uchun taxmin: 2 000 × 60% = 1 200 mamnun mijoz atrofida.

Buning uchun oraliqli chastota jadvali tuziladi. Avval eng kichik va eng katta qiymat aniqlanadi, keyin teng kenglikdagi oraliqlar tanlanadi. Har bir qiymat faqat bitta oraliqqa tushishi uchun chegara qoidasi oldindan aytiladi: masalan, "50 dan 100 gacha" oralig'iga 50 kiradi, 100 kirmaydi.

Har bir oraliq uchun soni (chastota) va ulushi yoziladi. Chastotalar yig'indisi jami kuzatuvlar soniga, ulushlar 100% ga teng bo'lishi kerak.

Misol (muallif tomonidan tuzilgan, shartli raqamlar): "Anor savdo" cheklari (ming so'm): 35, 48, 52, 61, 74, 79, 83, 95, 102, 118, 125, 142. Oraliqlar: 0–50 da 2 ta (≈16,7%); 50–100 da 6 ta (50%); 100–150 da 4 ta (≈33,3%). Jami 12 ta, 100%. Ko'rinib turibdiki, xaridlarning yarmi 50–100 ming so'm oralig'ida.

Moda bu to'plamda eng ko'p uchraydigan qiymat. O'rtacha arifmetikdan farqi: u hisoblanmaydi, sanab topiladi va har doim haqiqatan mavjud qiymat bo'ladi.

Misol: "Qadam" poyabzal do'konida bir kunda sotilgan juftlar o'lchami: 39, 41, 42, 41, 40, 41, 43, 42, 41, 38. Sanaymiz: 41 o'lcham 4 marta, 42 o'lcham 2 marta, qolganlari bittadan. Moda = 41. O'rtacha arifmetik esa 40,8 chiqadi, bunday o'lcham esa yo'q.

Amaliy foyda: buyurtma berishda o'rtacha raqam emas, moda kerak. Do'kon 41 o'lchamni ko'proq olib kelishi kerak. Agar ikki qiymat bir xil ko'p uchrasa, to'plamda ikkita moda bo'ladi.

Bu yerda oddiy o'rtacha arifmetik noto'g'ri natija beradi, chunki taomlar har xil miqdorda sotilgan. To'g'ri usul tortilgan o'rtacha: har bir narx sotilgan soniga ko'paytiriladi, yig'indi jami songa bo'linadi.

Misol: "Tandir" kafesi: sho'rva 25 000 so'm × 40 porsiya = 1 000 000; osh 35 000 so'm × 100 porsiya = 3 500 000; kabob 60 000 so'm × 20 porsiya = 1 200 000. Jami: 5 700 000 so'm, 160 porsiya. Tortilgan o'rtacha: 5 700 000 ÷ 160 = 35 625 so'm.

Oddiy o'rtacha (25 000 + 35 000 + 60 000) ÷ 3 = 40 000 so'm bo'lardi va kafe tushumini oshirib ko'rsatardi. Buxgalteriyadagi o'rtacha tortilgan tannarx (AVECO) usuli ham aynan shu mantiqqa qurilgan.

O'rtacha raqam tebranishni ko'rsatmaydi. Eng oddiy tebranish ko'rsatkichi variatsiya kengligi: eng katta qiymat − eng kichik qiymat. Kenglik qancha kichik bo'lsa, ko'rsatkich shuncha barqaror.

Misol: "Sarbon market" ikki filialining 5 kunlik tushumi (mln so'm): 1-filial: 9, 10, 10, 11, 10. O'rtacha 10, kenglik 11 − 9 = 2. 2-filial: 4, 16, 7, 15, 8. O'rtacha 10, kenglik 16 − 4 = 12. O'rtachasi bir xil, lekin 2-filialda tushum keskin sakraydi.

Amaliy xulosa: 2-filialda kassir va tovar zaxirasini rejalashtirish qiyinroq, sababini (bozor kunlari, aksiyalar, kassa intizomi) alohida o'rganish kerak. Kenglik faqat ikki chetki qiymatga qaraydi, shuning uchun bitta g'ayrioddiy kun uni keskin oshirib yuborishi mumkin.

Birinchisi zanjirli, ikkinchisi bazisli o'sish sur'ati. Zanjirlida har oy o'zidan oldingi oyga bo'linadi. Bazislida har oy bitta tanlangan bazis oyga (masalan, yanvarga) bo'linadi.

Misol: "Mehr optika" tushumi (mln so'm): yanvar 50, fevral 55, mart 66. Zanjirli: fevral 55 ÷ 50 = 110%, mart 66 ÷ 55 = 120%. Bazisli (yanvar = 100%): fevral 110%, mart 66 ÷ 50 = 132%.

Bog'liqlik: zanjirli koeffitsientlar ko'paytmasi bazisli koeffitsientga teng: 1,10 × 1,20 = 1,32. Zanjirli sur'at oyma-oy tezlanish yoki sekinlashishni ko'rsatadi, bazisli esa davr boshidan beri umumiy natijani.

Aniqroq aytganda, u 2 foiz punktga oshdi. Foiz punkti ikki foizli ko'rsatkich orasidagi oddiy ayirma: 12% − 10% = 2 f.p. Nisbiy o'zgarish esa boshqa narsa: (12 − 10) ÷ 10 × 100% = 20%. Ya'ni ko'rsatkich o'z darajasiga nisbatan 20 foizga oshgan.

Ikkalasini aralashtirish hisobotda jiddiy chalkashlik tug'diradi: "2 foizga oshdi" desangiz, o'quvchi 10,2% ni tushunishi mumkin.

Misol: "Oltin don" un tegirmonida qaytarilgan mahsulot ulushi 4% dan 6% ga chiqdi. To'g'ri yozuv: "qaytarish ulushi 2 foiz punktga oshdi, bu nisbiy jihatdan 50 foizlik o'sish". Rahbar uchun ikkinchi raqam muammoning ko'lamini yaxshiroq ko'rsatadi.